Πώς να βρείτε την περιοχή ενός κυκλικού τμήματος

Ένα από τα κοινά γεωμετρικά προβλήματα είναι να υπολογιστεί η περιοχή ενός κυκλικού τμήματος - το τμήμα ενός κύκλου που οριοθετείται από μια χορδή και η αντίστοιχη χορδή ενός τόξου ενός κύκλου.

Η περιοχή του κυκλικού τμήματος ισούται με τη διαφορά μεταξύ της περιοχής του αντίστοιχου κυκλικού τομέα και της περιοχής του τριγώνου που σχηματίζεται από τις ακτίνες του αντίστοιχου τμήματος του τομέα και τη χορδή που οριοθετεί το τμήμα.

Παράδειγμα 1

Το μήκος της χορδής που συμβολίζει έναν κύκλο είναι ίσο με την τιμή του a. Το μέτρο βαθμού του τόξου που αντιστοιχεί στη χορδή είναι 60 °. Βρείτε την περιοχή του κυκλικού τμήματος.

Λύση

Ένα τρίγωνο που σχηματίζεται από δύο ακτίνες και μια χορδή είναι ισοσκελές, έτσι ώστε το ύψος που τραβιέται από την κορυφή της κεντρικής γωνίας προς την πλευρά του τριγώνου που σχηματίζεται από τη χορδή θα είναι επίσης ο διχοτόμος της κεντρικής γωνίας, το μισό και η διάμεσος, μειώνοντας κατά το ήμισυ τη χορδή. Γνωρίζοντας ότι το ημίτονο της γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσο με την αναλογία της αντίθετης πλευράς με την υποτείνουσα, μπορούμε να υπολογίσουμε την ακτίνα:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2.

R = a.

Η περιοχή του τομέα που αντιστοιχεί σε μια δεδομένη γωνία μπορεί να υπολογιστεί με τον ακόλουθο τύπο:

Sc = πR2 / 360 ° * 60 ° = pa2 / 6

Η περιοχή του τριγώνου που αντιστοιχεί στον τομέα υπολογίζεται ως εξής:

S ▲ = 1/2 * ah, όπου h είναι το ύψος που σύρεται από την κορυφή της κεντρικής γωνίας προς τη χορδή. Από το θεώρημα του Πυθαγορείου, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Κατά συνέπεια, S ▲ = √3 / 4 * a².

Η περιοχή του τμήματος, υπολογιζόμενη ως Sseg = Sc - S ▲, ισούται με:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Αν αντικαταστήσετε μια αριθμητική τιμή αντί για a, μπορείτε εύκολα να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της περιοχής τμήματος.

Παράδειγμα 2

Η ακτίνα του κύκλου είναι ίση με a. Το μέτρο βαθμού του τόξου που αντιστοιχεί στο τμήμα είναι 60 °. Βρείτε την περιοχή του κυκλικού τμήματος.