Πώς να υπολογίσετε την περιοχή ενός παραλληλογράμμου που είναι χτισμένο σε διανύσματα

Σε οποιονδήποτε δύο μη κολλητικούς και μη φυσικούς φορείς, μπορεί να κατασκευαστεί παραλληλόγραμμο. Αυτοί οι δύο φορείς θα συρρικνώσουν ένα παραλληλόγραμμο εάν συνδυάσετε την καταγωγή τους σε ένα σημείο. Τελειώστε τις πλευρές του σχήματος.

Εγχειρίδιο οδηγιών

1

Βρείτε τα μήκη των διανυσμάτων αν δοθούν οι συντεταγμένες τους. Ας πούμε, για παράδειγμα, το διάνυσμα Α έχει συντεταγμένες (a1, a2) στο επίπεδο. Στη συνέχεια, το μήκος του φορέα Α είναι | A | = √ (a1² + a2²). Ομοίως, βρίσκουμε την ενότητα του διανύσματος B: | B | = √ (b1² + b2²), όπου b1 και b2 είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος Β στο επίπεδο.

2

Η περιοχή παραλληλογράμμου βρίσκεται με τον τύπο S = | A | • | B | • sin (A ^ B), όπου A ^ B είναι η γωνία μεταξύ των δοθέντων διανυσμάτων Α και B. Το ημίτονο μπορεί να βρεθεί μέσα από το συνημίτονο χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα: sin²α + cos²α = 1. Το συνημίτονο μπορεί να εκφραστεί με βάση το κλιμακωτό προϊόν των διανυσμάτων γραμμένο σε συντεταγμένες.

3

Το βαθμωτό προϊόν ενός φορέα Α από έναν φορέα Β σημειώνεται με (Α, Β). Εξ ορισμού, είναι ίσο με (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). Σε συντεταγμένες, το βαθμωτό προϊόν είναι γραμμένο έτσι: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. Από εδώ μπορούμε να εκφράσουμε το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ των διανυσμάτων: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) b2²). Στον αριθμητή, το κλιμακωτό προϊόν · στον παρονομαστή, τα μήκη των διανυσμάτων.

4

Τώρα μπορούμε να εκφράσουμε το ημίτονο από την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Αν υποθέσουμε ότι η γωνία α μεταξύ των διανυσμάτων είναι οξεία, το μείον με το ημίτονο μπορεί να απορριφθεί, αφήνοντας μόνο το σύμβολο συν, αφού το ημίτονο της οξείας γωνίας μπορεί να είναι θετικό (ή μηδέν στη μηδενική γωνία, αλλά εδώ η γωνία είναι μηδενική, μη-γραμμικότητα φορέων).

5

Τώρα πρέπει να αντικαταστήσουμε την συντεταγμένη έκφραση για το συνημίτονο στη συνθετική φόρμουλα. Μετά από αυτό, παραμένει μόνο να γράψουμε το αποτέλεσμα στον τύπο περιοχής παραλληλογράμμου. Εάν όλα αυτά γίνουν και η αριθμητική έκφραση απλοποιηθεί, τότε αποδεικνύεται ότι S = a1 • b2-a2 • b1. Έτσι, η περιοχή του παραλληλογράμμου που κατασκευάζεται στους φορείς A (a1, a2) και B (b1, b2) βρίσκεται με τον τύπο S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Η προκύπτουσα έκφραση είναι ο καθοριστικός παράγοντας της μήτρας που αποτελείται από τις συντεταγμένες των φορέων Α και Β: a1 a2b1 b2.

7

Πράγματι, για να ληφθεί ένας προσδιοριστής μιας μήτρας της διάστασης δύο, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τα στοιχεία της κύριας διαγώνιας (a1, b2) και να αφαιρέσουμε από αυτό το προϊόν των στοιχείων της πλευρικής διαγώνιας (a2, b1).