Πώς να λύσετε εξισώσεις με ρίζες

Μερικές φορές στις εξισώσεις υπάρχει ένα σημάδι της ρίζας. Φαίνεται σε πολλούς μαθητές ότι είναι πολύ δύσκολο να επιλυθούν τέτοιες εξισώσεις "με ρίζες" ή, πιο σωστά, να διατυπωθούν παράλογες εξισώσεις, αλλά αυτό δεν συμβαίνει.

Εγχειρίδιο οδηγιών

1

Σε αντίθεση με άλλους τύπους εξισώσεων, για παράδειγμα, τετραγωνικά ή γραμμικά συστήματα εξισώσεων, δεν υπάρχει κανένας τυπικός αλγόριθμος για την επίλυση εξισώσεων με ρίζες ή πιο συγκεκριμένα με παράλογες εξισώσεις. Σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση, είναι απαραίτητο να επιλέξουμε την πλέον κατάλληλη μέθοδο λύσης με βάση την "εμφάνιση" και τα χαρακτηριστικά της εξίσωσης.

Η αύξηση των τμημάτων της εξίσωσης στον ίδιο βαθμό.

Τις περισσότερες φορές, για την επίλυση εξισώσεων με ρίζες (παράλογες εξισώσεις), χρησιμοποιείται και στον ίδιο βαθμό η ανύψωση και των δύο πλευρών της εξίσωσης. Κατά κανόνα, σε βαθμό ίσο με τον βαθμό της ρίζας (τετράγωνο για την τετραγωνική ρίζα, κύβος για κυβική ρίζα). Πρέπει να έχουμε κατά νου ότι όταν ανεβάσει την αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης σε ίσο βαθμό, μπορεί να έχει "επιπλέον" ρίζες. Επομένως, σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να ελέγξουμε τις ρίζες που έχουν ληφθεί αντικαθιστώντας τους με την εξίσωση. Ιδιαίτερη προσοχή κατά την επίλυση των εξισώσεων με τετραγωνικές (ομοιόμορφες) ρίζες πρέπει να δίνεται στο εύρος των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής (ODZ). Μερικές φορές, η εκτίμηση της ODL από μόνη της είναι αρκετή για να λύσει ή να απλοποιήσει σημαντικά την εξίσωση.

Ένα παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση:

√ (5x-16) = χ-2

Διαχωρίζουμε τις δύο πλευρές της εξίσωσης:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², από το οποίο παίρνουμε διαδοχικά:

5x-16 = χ2-4χ + 4

h2-4x + 4-5χ + 16 = 0

h2-9x + 20 = 0

Επίλυση της ληφθείσας τετραγωνικής εξίσωσης βρήκαμε τις ρίζες της:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, χ2 = 5

Αντικαθιστώντας και τις δύο ρίζες που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση, έχουμε την σωστή ισότητα. Επομένως, και οι δύο αριθμοί είναι λύσεις της εξίσωσης.

2

Μέθοδος εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής.

Μερικές φορές είναι πιο βολικό να βρούμε τις ρίζες μιας "εξίσωσης με ρίζες" (μια παράλογη εξίσωση) εισάγοντας νέες μεταβλητές. Στην πραγματικότητα, η ουσία αυτής της μεθόδου απλώς μειώνεται σε ένα πιο συμπαγές αρχείο της λύσης, δηλ. αντί να γράφει μια ογκώδη έκφραση κάθε φορά, αντικαθίσταται από ένα μύθο.

Ένα παράδειγμα. Λύστε την εξίσωση: 2x + √x-3 = 0

Μπορείτε να λύσετε αυτήν την εξίσωση τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές. Ωστόσο, οι ίδιοι οι υπολογισμοί θα φαίνονται μάλλον δυσκίνητοι. Με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής, η διαδικασία λήψης αποφάσεων θα αποδειχθεί πολύ πιο κομψή:

Εισάγουμε μια νέα μεταβλητή: y = √ x

Στη συνέχεια παίρνουμε τη συνηθισμένη τετραγωνική εξίσωση:

2y² + y-3 = 0, με μεταβλητή y.

Επιλύοντας την προκύπτουσα εξίσωση, βρίσκουμε δύο ρίζες:

y1 = 1 και y2 = -3 / 2, Αντικαθιστώντας τις ρίζες που βρέθηκαν στην έκφραση για τη νέα μεταβλητή (y), έχουμε:

√ x = 1 και √ x = -3 / 2.

Δεδομένου ότι η τιμή της τετραγωνικής ρίζας δεν μπορεί να είναι αρνητικός αριθμός (αν δεν αγγίζετε την περιοχή σύνθετων αριθμών), έχουμε τη μόνη λύση:

x = 1.

λύση τετραγωνικής ρίζας