Πώς να λύσετε συστήματα εξισώσεων

Δεν είναι δύσκολο να λυθεί το σύστημα των εξισώσεων χρησιμοποιώντας τις βασικές μεθόδους για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων: η μέθοδος υποκατάστασης και η μέθοδος προσθήκης.

Εγχειρίδιο οδηγιών

1

Ας εξετάσουμε μεθόδους για την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο άγνωστες τιμές. Σε γενικές γραμμές, ένα τέτοιο σύστημα γράφεται ως εξής (στα αριστερά, οι εξισώσεις συνδυάζονται με ένα σγουρό βραχίονα):

άξονα + β = γ

dx + ey = f, όπου

a, b, c, d, e, f είναι οι συντελεστές (συγκεκριμένοι αριθμοί) και τα x και y, ως συνήθως, είναι άγνωστα. Οι αριθμοί a, b, c, d ονομάζονται συντελεστές για άγνωστα και τα c και f ονομάζονται ελεύθεροι όροι. Η λύση σε ένα τέτοιο σύστημα εξισώσεων βρίσκεται με δύο κύριες μεθόδους.

Επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο υποκατάστασης.

1. Λαμβάνουμε την πρώτη εξίσωση και εκφράζουμε ένα από τα άγνωστα (x) όσον αφορά τους συντελεστές και το άλλο άγνωστο (y):

x = (s-by) / α

2. Αντικαταστήστε την έκφραση που λαμβάνεται για το x στη δεύτερη εξίσωση:

d (c-by) / a + ey = f

3. Με την επίλυση της προκύπτουσας εξίσωσης, βρίσκουμε την έκφραση για y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Αντικαταστήστε την προκύπτουσα έκφραση για το y στην έκφραση για το x:

x = (CE-bf) / (ae-bd)

Παράδειγμα: πρέπει να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Βρείτε την τιμή του x από την πρώτη εξίσωση:

x = (2y + 4) / 3

Αντικαταστήστε την προκύπτουσα έκφραση στη δεύτερη εξίσωση και πάρτε μια εξίσωση με μια μεταβλητή (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, από όπου έχουμε:

y = 1

Τώρα αντικαθιστούμε την τιμή εύρεσης του y στην παράσταση για τη μεταβλητή x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Απάντηση: x = 2, y = 1.

2

Η λύση του συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο προσθήκης (αφαίρεση).

Αυτή η μέθοδος μειώνει τον πολλαπλασιασμό και των δύο πλευρών των εξισώσεων με αριθμούς (παραμέτρους) έτσι ώστε, ως αποτέλεσμα, οι συντελεστές μίας από τις μεταβλητές να συμπίπτουν (πιθανώς με το αντίθετο σύμβολο).

Στη γενική περίπτωση, και οι δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης πρέπει να πολλαπλασιάζονται με (-d), και οι δύο πλευρές της δεύτερης εξίσωσης από a. Ως αποτέλεσμα, έχουμε:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Προσθέτοντας τις προκύπτουσες εξισώσεις, λαμβάνουμε:

-bdu + aeu = -cd + af, από όπου παίρνουμε την έκφραση για τη μεταβλητή y:

y = (af-cd) / (ae-bd), αντικαθιστώντας την έκφραση για y σε οποιαδήποτε εξίσωση του συστήματος, λαμβάνουμε:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c;

από αυτήν την εξίσωση βρίσκουμε το δεύτερο άγνωστο:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Ένα παράδειγμα. Λύστε το σύστημα των εξισώσεων προσθέτοντας ή αφαιρώντας:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με (-1) και τη δεύτερη με 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Προσθέτοντας (όρος με όρο) και τις δύο εξισώσεις, λαμβάνουμε:

11y = 11

Πού φτάνουμε:

y = 1

Αντικαθιστάμε την λαμβανόμενη τιμή για το y σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις, για παράδειγμα, στο δεύτερο, παίρνουμε:

3x + 9 = 15, από εκεί

x = 2

Απάντηση: x = 2, y = 1.